Функции нескольких переменных. Функция двух и более переменных. Её область определения Функции нескольких переменных определение и свойства
Лекция 1 Теория функций двух и нескольких переменных (ТФНП). 1. Понятие ФНП. 2. Предел ФНП. 3. Непрерывность ФНП. 4. Частные производные первого порядка. 5. Производная сложной функции. 6. Производная неявной функции. 7. Производные высших порядков.
1. Понятие ФНП. Пусть множество D – область на плоскости. Определение. Если поставлено в соответствие число, то говорят, что на множестве D задана числовая функция D – область определения функции.
Если точка то отображение задается двумя координатами, функция 2 -х переменных Графиком такой функции будет множество точек с координатами x, y, z - поверхность в пространстве.
Геометрическая интерпретация f(x, y). D– некоторая часть плоскости 0 ХY z D – проекция графика функции f(x, y) на плоскость 0 ХY z f О x D x y y График функции – поверхность в пространстве.
2. Предел функции двух переменных. Пусть точка Множество точек называется таких, что - окрестностью точки
Определение. Пусть точка Если то точка P называется внутренней точкой множества D. Определение. Если все точки D внутренние для этого множества, то оно называется открытым. Определение. Всякое открытое множество, содержащее точку называется её окрестностью.
Определение. Множество любые две точки которого можно связать непрерывной кривой, лежащей в этом множестве, называется связным. Определение. Открытое связное множество называется областью.
Пусть функция окрестности точки определена в некоторой (не обязательно в самой точке Число А называется пределом функции при стремлении если
Обозначение. Замечание. Стремление может происходить по любому закону и направлению, при этом все предельные значения существуют и равны А.
Пример. Рассмотрим функцию Рассмотрим стремление проходящим через т. (0, 0): по прямым, значение А зависит от того как.
3. Непрерывность ФНП. Функция непрерывной в точке называется, если Если хотя бы одно из условий 1 -3 нарушено, то - точка разрыва.
Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва. Пример. а) Точка разрыва – (изолированная) б) - линия разрыва
Определение. Разность называется полным приращением функции. Определение. Пределы называются частными производными функции (при условии, что они существуют).
Правила вычисления частных производных ФНП совпадают с соответствующими правилами для функции одной переменной. Замечание. При вычислении производной ФНП по одной из переменных все остальные рассматриваются как постоянные. Пример.
Определение. Главная (линейная) часть полного приращения функции в точке называется полным дифференциалом функции в этой точке.
5. Производная сложной функции. Рассмотрим функцию где т. е. z – сложная функция x, y. Частные производные сложной функции по переменным x и y вычисляются так: (как и в случае сложной функции одной переменной).
Полная производная а) где т. е. z – сложная функция одного аргумента t. Тогда - полная производная функции по аргументу t.
При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.
Определение (для функции двух переменных). Пусть X , Y и Z - множества. Если каждой паре (x , y ) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z , то говорят, что задана функция двух переменных z = f (x , y ) .
В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x ; y ) плоскости xOy .
Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной .
Множество D называется областью определения функции z , а множество E – множеством её значений . Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.
Частным значениям аргументов
соответствует частное значение функции
Область определения функции нескольких переменных
Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f (x , y ) , то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y , для которых выражение f (x , y ) имеет смысл и принимает действительные значения . Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной . Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных - соответствующее множество точек абстрактного n -мерного пространства.
Область определения функции двух переменных с корнем n -й степени
В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n - натуральное число :
если n - чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть
если n - нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y .
Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени
:
если a - положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y ;
если a - отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .
Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени
В случае, когда функция задана формулой 
:
если - положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения большие или равное нулю: ;
если - отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .
Область определения логарифмической функции двух переменных
Логарифмическая функция двух переменных 
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .
Область определения тригонометрических функций двух переменных
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y
.
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y
.
Область определения функции - вся плоскость x0y
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y
, кроме пар чисел, для которых
принимает значения .
Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных
Область определения функции 
.
Область определения функции 
-
множество таких точек плоскости, для которых .
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y
.
Область определения функции 
-
вся плоскость x0y
.
Область определения дроби как функции двух переменных
Если функция задана формулой , то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .
Область определения линейной функции двух переменных
Если функция задана формулой вида z = ax + by + c , то область определения функции - вся плоскость x0y .
Пример 1.
Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство
Умножаем всё неравенство на и получаем
Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.
Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .
(лекция 1)
Функции 2-х переменных.
Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Опр. Окрестностью точки р 0 называется круг с центром в точке р 0 и радиусом. = (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2
сколь угодно малого числа можно указать такое число ()>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше выполняется неравенство: f(x,y) А, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р 0 , с радиусом, значение функции отличается от А меньше чем на по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р 0 по любому
Непрерывность функции.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр.
3)Предел равен значению функции в этой точке: = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );
pp 0
Частное производной.
Дадим аргументу х приращение х; х+х, получим точку р 1 (х+х,у), вычислим разность значений функции в точке р:
х z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
z = Lim x z
z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)
X x0 X
Определение функции нескольких переменных
При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.
Например , изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.
Другой пример : изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть:
x - затраты по материалам,
y - расходы на выплату заработной платы работникам,
z - амортизационные отчисления.
Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.
Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных
из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция
"n" переменных.
Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния или областью существования этой функции.
Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел
обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (x, y) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.
Так, например, областью определения функции
является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению
т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.
Для функции
областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию
т. е. внешние по отношению к заданному кругу.
Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение
связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f (x, y) является множество точек P (x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f (x, y).
Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f (x, y).
Так, например, (рис. 1.1) графиком функции
является верхняя половина сферы, а графиком функции
Нижняя половина сферы.
Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.
Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.
В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.
Определение функции нескольких переменных.
(лекция 1)
Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.
Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.
G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения.
Функции 2-х переменных.
Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Предел функции 2-х переменных.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр. Окрестностью точки р 0 называется круг с центром в точке р 0 и радиусом r. r = Ö (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 Ø
Число А называется пределом функции |в точке р 0 , если для любого
сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) - А½0, с радиусом r, значение функции отличается от А меньше чем на e по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р 0 по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.
Непрерывность функции.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р 0 , если выполняются 3 условия:
1)функция определена в этой точке. f(р 0) = f(x,y);
2)ф-я имеет предел в этой точке.
3)Предел равен значению функции в этой точке: b = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 ) ;
p à p 0
Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.
Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.
Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.
Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.
Частное производной.
Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.
Дадим аргументу х приращение Dх; х+Dх, получим точку р 1 (х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:
D х z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.
¶ z = Lim D x z
චz = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)
¶ x D x ® 0 D x
Аналогично определяем частное производной по переменной у.
Нахождение частных производных.
При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).
Понятие функции нескольких переменных
Если каждой точке X = (х 1 , х 2 , …х n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х 1 , х 2 , …х n) = f (X).
При этом переменные х 1 , х 2 , …х n называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной , а символ f обозначает закон соответствия . Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства).
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х 1 и х 2 , а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х 1 = 0 и х 2 = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х 1 = 2, х 2 = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).
Функция вида z = а 1 х 1 + а 2 х 2 + … + а n х n + b, где а 1 , а 2 ,…, а n , b - по стоянные числа, называют линейной . Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х 1 , х 2 , …х n . Все остальные функции называют нелинейными .
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) – нелинейная, а функция z =
= х 1 + 7х 2 - 5 – линейная.
Любой функции z = f (X) = f(х 1 , х 2 , …х n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.
Например, функции трех переменных z = 1/(х 1 х 2 х 3) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х 2 = а и х 3 = b то функция примет вид z = 1/(аbх 1); если зафиксировать х 1 = а и х 3 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 2); если зафиксировать х 1 = а и х 2 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 3). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х 2 = а, то она примет вид z = 5х 1 а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х 1 = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.
Графиком
функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).
Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).
Если переменных больше двух (n переменных), то график функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью ), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).
Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве
Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем .
Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).
Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня .
Например, рассмотрим z = 1/(х 1 х 2). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х 1 х 2) = 10. Тогда х 2 = 1/(10х 1), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х 2 = 1/(5х 1) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).
Рисунок 5.4 - Линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2)
Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х 1 + х 2 . Возьмем С = 2, т.е. 2х 1 + х 2 = 2. Тогда х 2 = 2 - 2х 1 , т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х 2 = 4 - 2х 1 (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х 1 + х 2 = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.
Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.
Рисунок 5.5 - Линии уровня функции z = 2х 1 + х 2
) мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! …А всё как в жизни – нет такой сложности, которую было бы нельзя усложнить =) Но математика – на то и математика, чтобы укладывать многообразие нашего мира в строгие рамки. И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением:
В общем случае сложная функция имеет вид 
, где, по меньшей мере, одна
из букв представляет собой функцию
, которая может зависеть от произвольного
количества переменных.
Минимальный и самый простой вариант – это давно знакомая сложная функция одной переменной, производную которой
мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете (взгляните на те же функции 
)
.
Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай . По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных:
Пример 1
Дана сложная функция , где 
. Требуется:
1) найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
2) вычислить значение производной при .
Решение
: во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, зависящая от и , которые в свою очередь являются функциями
одной переменной:
Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание – от нас требуется найти производнУЮ
, то есть, речь идёт вовсе не о частных производных , которые мы привыкли находить! Так как функция 
фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная
. Как её найти?
Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Подставим 
в функцию :
, после чего с искомой производной никаких проблем:
И, соответственно, полный дифференциал: 
Это решение математически корректно, но маленький нюанс состоит в том, что когда задача формулируется так, как она сформулирована – такого варварства от вас никто не ожидает =) А если серьёзно, то придраться тут действительно можно. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановку 
, мы получаем лишь частную информацию
, которая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это за функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта!
Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы:
Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных – в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным
в записи: производные с прямыми значками «дэ» – это полные производные
, а производные с округлыми значками – это частные производные
. С последних и начнём:
Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно:
Подставим найденные производные в нашу формулу:
Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным (и тому дано объяснение выше!)
оставить в таком же виде и результаты:
При этом в «навороченных» ответах лучше воздержаться даже от минимальных упрощений (тут, например, напрашивается убрать 3 минуса)
– и вам работы меньше, и мохнатый друг доволен рецензировать задание проще.
Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим 
в найденную производную и проведём упрощения:
(на последнем шаге использованы тригонометрические формулы
, 
)
В результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения.
Вычислим производную в точке . Сначала удобно выяснить «транзитные» значения (значения функций 
)
:
Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно выполнить по-разному. Использую интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по обычным правилам , а преобразуются как частное двух чисел:
И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи 
:
Ответ
: 
Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде:
«Найти производную функции , где 
»
То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» вполне конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле:
Более того, условие могут немного подшифровать:
«Найти производную функции 
»
В этом случае нужно самостоятельно
обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через 
и воспользоваться той же формулой:
К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Анализируя различные источники по теме, у меня вообще сложилось впечатление, что авторы «пошли вразнос» и стали безжалостно бросать студентов в бурные пучины математики =) Так что уж простите:))
Пример 2
Найти производную функции 
, если 
Другие обозначения не должны приводить в замешательство! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса:
1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).
2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса».
Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче!
Краткое решение и ответ в конце урока.
Дополнительные примеры по первому виду можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.1) , ну а мы берём курс на функцию трёх переменных :
Пример 3
Дана функция , где .
Вычислить производную в точке
Формула производной сложной функции , как многие догадываются, имеет родственный вид:
Решайте, раз догадались =)
На всякий случай приведу и общую формулу для функции :
, хотя на практике вы вряд ли встретите что-то длиннее Примера 3.
Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант – как правило, функцию вида либо . Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования – придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных.
Если что-то осталось недопонятым, пожалуйста, неторопливо перечитайте и осмыслите первую часть урока, поскольку сейчас задача усложнится:
Пример 4
Найти частные производные сложной функции , где 
Решение
: данная функция имеет вид , и после прямой подстановки и мы получаем привычную функцию двух переменных:
Но такой страх не то чтобы не принято, а уже и не хочется дифференцировать =) Поэтому воспользуемся готовыми формулами. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки:
Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо….
Сначала найдём частные производные «главной» функции:
Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»:
и записываем итоговую «иксовую» производную:
Аналогично с «игреком»:
и
Можно придерживаться и другого стиля – сразу найти все «хвосты» 
и потом записать обе производные.
Ответ
:
О подстановке 
что-то как-то совсем не думается =) =), а вот причесать результаты немножко можно. Хотя, опять же, зачем? – только усложните проверку преподавателю.
Если потребуется, то полный дифференциал
тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика:
Такой вот... ....гроб на колёсиках.
Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде – на понимание самой формулы;-):
Пример 5
Найти частные производные функции , где 
И посложнее – с подключением техники дифференцирования:
Пример 6
Найти полный дифференциал функции 
, где 
Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» – все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию (ответив на 2 вопроса – см. выше) , представить её в общем виде и аккуратно модифицировать формулы частных производных. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются:)))
Пример 7
Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функции
, где
Решение
: «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных – «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами:
И снова – внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо.
Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций:
Справится первоклассник:
И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный:
Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию – чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи.
Ответ
: 
Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например:
Здесь «главная» функция хоть и имеет вид , но всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы – просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вроде 
, у которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной.
Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока:
Пример 8
Найти полный дифференциал сложной функции в точке
Решение
: условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант:
Во «вкладышах» присутствуют (ВНИМАНИЕ!
) ТРИ буквы – старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в виде , и частные производные в этом случае определяются следующими формулами:
Сканируем, вникаем, улавливаем….
В нашей задаче:
До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т.е. изучением переменной, значения которой зависят от значений одной независимой переменной.
На практике часто приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – сторон прямоугольника и : .
Пример 2. Работа электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов на концах участка, силы тока и времени : .
Пример 3. Температура , измеряемая в различных точках некоторого тела, есть функция от координат точки, в которой она измеряется, и от момента времени : .
Определение 1. Назовем n -мерной точкой упорядоченный набор из чисел . Числа называются координатами -мерной точки . Множество всевозможных -мерных точек назовем n-мерным пространством и будем обозначать его . Точку назовем началом координат в -мерном пространстве, а число – размерностью пространства.
Частные случаи :
1. – числовая прямая;
2. – плоскость;
3. – трехмерное пространство.
Определение 2. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных
Переменные называются независимыми переменными или аргументами , – зависимой переменной , символ – закон соответствия .
Также как и функцию одной переменной функцию нескольких переменных можно задать явно – и неявно – .
Любую явную функцию нескольких переменных можно представить как функцию точки в -мерном пространстве: , где точка определяется набором ее координат.
Если каждой точке из области определения соответствует одно значение , то функция называется однозначной , в противном случае – многозначной .
Множество называется областью определения функции , оно является подмножеством -мерного пространства. Подобно промежутку область может быть замкнутой или открытой в зависимости от того, содержит она свою границу или нет.
Естественной областью определения функции (1) называется множество точек , координаты которых однозначно обеспечивают вещественные и конечные значения функции . В дальнейшем, если дополнительные ограничения на изменение независимых переменных постановкой задачи не накладываются, под областью определения функции будем подразумевать ее естественную область определения.
Рассмотрим более подробно два частных случая, которые являются наиболее простыми и допускают геометрическую интерпретацию.
1. Функция двух переменных (n = 2)
Функцию двух переменных будем обозначать . Частное значение функции при , или в точке записывают в виде , , или .
Область определения функции есть подмножество точек координатной плоскости . В частности, областью определения функции может быть вся плоскость или часть плоскости, ограниченная линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки плоскости, не лежащие на границе, будем называть внутренними .
Пример 4. Функция определена на всей плоскости .
Пример 5. Функции определена на всей плоскости, за исключением прямой .
Пример 6. Областью определения функции является множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют соотношению , т.е. круг радиуса 1 и с центром в начале координат. Область определения этой функции является замкнутой.
Следующий пример рассмотрим более подробно.
Пример 7. Найти область определения функции .
Решение.
Логарифм определен только при положительном значении аргумента, поэтому на аргументы имеется одно условие: .
Чтобы изобразить геометрически область , найдем сначала ее границу: . Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке , а ось направлена в положительную сторону оси .
|
Следовательно, искомая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область не входит, значит, область отрытая.
Определение 3.Окрестностью точки называется любой открытый круг, содержащий точку .
В частности, -окрестностью называется открытый круг с центром в точке и радиусом .
Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.
При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный математический аппарат для функции одной переменной. А именно: любой функции можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении функцию и при фиксированном значении функцию .
Следует иметь в виду, что хотя функции и имеют одно и то же "происхождение", вид их может существенно различаться.
Пример 9. Рассмотрим функцию . При функция является степенной, а при функция является показательной.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Как известно, функция одной переменной может быть изображена некоторой кривой на плоскости, если рассматривать значения ее аргумента как абсциссы, а значения функции как ординаты точек кривой.
Подобным же образом функция двух переменных может быть изображена графически.
Рассмотрим функцию , определенную в области на плоскости и систему прямоугольных декартовых координат . Каждой точке множества поставим в соответствие точку пространства , аппликата которой равна значению функции в точке : . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которую естественно принять за графическое изображение функции .
Определение 4.Графикомфункции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением .
|
2. Функция трех переменных (n = 3)
Функцию трех переменных будем обозначать , при этом будем считать, что , и – независимые переменные (или аргументы), а – зависимая переменная (или функция).
Областью определения такой функции называется множество всех рассматриваемых троек чисел. Если функция задана аналитически, под ее естественной областью определения подразумевают совокупность всех троек чисел , для которых функция принимает действительные значения.
Определение 6.Окрестностью точки называется любая открытая сфера, содержащая точку .
В частности, -окрестностью называется открытая сфера с центром в точке и радиусом .
Изображая тройки чисел точками пространства , можно рассматривать функцию трех переменных как функцию точки пространства, а область определения функции трех переменных – как некоторое множество точек пространства.